ТЕМА на месец август 2014

Задача 1.

а) В телекомуникационна компания е постъпила заявка за осигуряване на телевизионен сигнал до три вили ̶ Кокиче, Лале и Мак, разположени наблизо една до друга, но в отдалечено място в планината. Разстоянието между вилите Кокиче и Лале е 30 м, между Лале и Мак е 27.24 м, а между Мак и Кокиче е 18.8 м. Специалисти преценили, че заявката може да се удовлетвори с поставяне на сателитна антена в непосредствена близост до вилите, която да приеме сигнала от сателит и да го предаде до всяка от вилите по отделен кабел. Те преценили и къде да поставят сателитната антена така, че дължината на необходимия кабел за пренос на сигнала до трите вили да е минимална. Колко метра кабел най-малко трябва да вземат със себе си монтажниците, за да изпълнят заявката? Можете да използвате приложения тук файл за експериментално намиране на оптималното положение на антената.

b) Когато отишли на място, за да монтират антената и кабелите, работниците премерили още веднъж разстоянието между вилите и установили, че едно от разстоянията – това между вилите Кокиче и Лале, не е премерено точно. То не е 30 м, а само 28 м. С колко ще се скъси необходимото количество кабел, ако сателитната антена отново бъде разположена по оптимален начин?

задача 1.ggb

Задача 2.

а) Тази задача е вариант на предишната: вилите са четири и са разположени в точките A, B, C и D, чиито координати (в метри) са съответно: A(0, 0), B(40, 5), C(35, 20) и D(15, 30). В коя точка X да се разположи антената, така че сборът от дължините на отсечките XA, XB, XC и XD да е минимален.

задача 2.ggb

b) При инсталирането на антената се оказало, че от нея могат да излизат най-много три кабела, а не четири. Специалистите решили, че някои две от вилите ще се захранват със сигнал чрез отделни кабели (излизащи от антена, разположена в някоя точка X), а другите две вили ̶ с един общ кабел, излизащ от антената, който в някаква точка Y ще се раздвоява и ще доставя сигнала до тях. Как в този случай да се подберат точките Х и Y (и съответните двойки вили) така, че количеството необходим кабел да е минимално?

c) След известен период на безотказна работа, единият от трите изхода на антената се повредил и тя можела да захранва вече само два кабела. Техниците решили всеки от двата кабела, излизащи от антената в точка X, да захранва по две вили, като единият кабел се раздвоява в точка Y, а другият – в точка Z. Как в този случай да се подберат точките X, Y и Z така, че дължината на необходимия кабел да е минимална?